【確率】階乗・順列・組み合わせについて【組み合わせ論】

組み合わせ論とは、複数の要素が取りえる方法について考えることです。

1. 順列（階乗）
2. 重複順列
3. 順列
4. 組み合わせ

についてまとめています。

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順列（階乗）

順列（階乗）は、ある数の要素を並べるときの数を示す。

初めに入る数字nからn-1,n-2の数字を並べ、値をかけていきます。

特徴

• 標本空間の全ての要素を並べる
• 重複して使うことがない
• \(P(n) = n!\)

例

5人を順番に並べる場合（順列・階乗）

\(P(5) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

1人、2人と並べていくたびに、取りえる選択肢は少なくなっていく。

階乗

• 負の数の階乗はない
• \(0! = 1\)となる

順列（※階乗ではない）

順列とは、ある数から要素を選んでそれを並べることをいいます。

1. 重複順列（繰り返しあり）
2. 順列（繰り返しなし※こちらの方が一般的）

の2種類のパターンがあります。

重複順列（繰り返しあり）

1つ目の要素がn通りあり、それ以降についてもn通りあるとすると、rに対してn通りの数がある。

\(n \times n \times n \dots n = n^r\)となる。

例

1. 暗証番号が左右1～9の値を取った場合、何通りあるのか？
   \(9^2 = 81通り\)
   
2. 小文字大文字を区別するアルファベット26字のパスワードを5字分作成する場合、何通りあるのか？
   \(52^5 = 380,204,032通り\)

順列（繰り返しなし※こちらの方が一般的）

異なるn個のものから、異なるr個を取り出して並べる場合。

1つ目の要素がn通りあり、2つ目の要素についてはn-1通りあるとすると、要素を選ぶほど取れる数は減っていく。

\(n \times (n-1) \times (n-2) \dots (n-p+1) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

例

5人のメンバーから3人を1番～3番まで選出する。取りえる数は何通りあるか？

\({}_5 P_3 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 60通り\)

組み合わせ

組み合わせとは、ある集合から要素を選ぶ場合に取りえる数をいいます。

例えば、美術品の選考会を行い、10人の中から3人の優秀賞受賞者を選ぶとします。

順列で考えると、\({}_{10} P_{3} = 720通り\)となりますが、組み合わせとして重複しているので正確な値とは言えません。

つまり、要素の重複を考慮した組み合わせを考えなければならないという事です。

1. Aさん、Bさん、Cさん
2. Bさん、Aさん、Cさん
3. Cさん、Bさん、Aさん

など同じメンバーを選出したのに取りえるのは\({}_3 P_3 = 6通り\)と考えられてしまいます。
本当は6通りではなく、この組み合わせを1として数えたいので、順列に\(r!\)を割ります(※\(\frac{1}{r!}\))。

計算すると、\({}_{10} C_{3} = \frac{10!}{(10-3)!\times 3!} = 120通り\)となります。

組み合わせは対称性を有する。-> \({}_n C_r = {}_n C_{n-r}\)
rを選ぶという事は、n-rを選ばないことと一緒であるため。

異なる標本空間の組み合わせ

異なる標本空間から取りえる場合の数は

それぞれの標本空間の数をかければ求まります。

まとめ

種類	式	特徴
順列(階乗)	\(n!\)	・要素を並べる
重複順列	\(n^r\)	・要素を選んで並べる ※n通りが変化しない
順列	\( {}_n P_r = \frac{n!}{(n-r)!} \)	・要素を選んで並べる ※n-1通りになる
組み合わせ	\({}_n C_r = \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \)	・要素の重複を考慮する